第8章 利用导数研究函数

例 1 求极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{x - \sin x}{{x}^{3}}}$ .

例 2 求极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{x}^{k}}{{\mathrm{e}}^{x}},k \in {\mathbb{N}}^{\left( 1\right) }$ .

例 3 求极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\ln x}{{x}^{\alpha }}\left( {\alpha > 0}\right)$ .

例 4 设 $f\left( x\right)$ 在 $a$ 点有二阶导数 ${f}^{\prime \prime }\left( a\right)$ ,试证 $$ \mathop{\lim }\limits_{{h \rightarrow 0}}\frac{f\left( {a + h}\right) + f\left( {a - h}\right) - {2f}\left( a\right) }{{h}^{2}} = {f}^{\prime \prime }\left( a\right) . $$

例 5 考察分段表示的函数 $$ f\left( x\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}, & \text{ 如果 }x > 0, \\ 0, & \text{ 如果 }x \leq 0. \end{array}\right. $$ 试证 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导任意多次.

例 6 求极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( {\frac{1}{{x}^{2}} - {\cot }^{2}x}\right)$ .

例 7 我们把 $$ {M}_{t}\left( x\right) = {\left( \frac{{x}_{1}^{t} + {x}_{2}^{t} + \cdots + {x}_{n}^{t}}{n}\right) }^{\frac{1}{t}} $$ 称为 $n$ 个正数 ${x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}$ 的 $t$ 次方平均数,并记 $$ G\left( x\right) = \sqrt[n]{{x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n}}, $$ $$ M = \max \left\{ {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right\} , $$ $$ m = \min \left\{ {{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n}}\right\} . $$ 试证 (1) $\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow 0}}{M}_{t}\left( x\right) = G\left( x\right)$ ; (2) $\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow + \infty }}{M}_{t}\left( x\right) = M$ ; (3) $\mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow - \infty }}{M}_{t}\left( x\right) = m$ .

例 1 试求 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{x}$ 的麦克劳林公式.

例 2 求函数 $f\left( x\right) = \sin x$ 和 $g\left( x\right) = \cos x$ 的麦克劳林公式.

例 3 求函数 $f\left( x\right) = \ln \left( {1 + x}\right)$ 的麦克劳林公式.

例 4 求函数 $f\left( x\right) = {\left( 1 + x\right) }^{a}$ 的麦克劳林公式.

例 5 求函数 $f\left( x\right) = \arctan x$ 的麦克劳林公式.

例 6 求函数 $f\left( x\right) = \arcsin x$ 的麦克劳林公式.

例 7 在原点邻近,试将函数 $f\left( x\right) = \tan x$ 展开到 4 阶项.

例 8 试将函数 $f\left( x\right) = {\mathrm{e}}^{\cos x}$ 在原点展开到 4 阶项.

例 9 求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{\sin x - \arctan x}{\tan x - \arcsin x}}$ .

例 10 求 $\displaystyle \lim {n}^{2}\left( {1 - n\sin \frac{1}{n}}\right)$ .

例 11 求 $K = \lim \frac{{\mathrm{e}}^{n}}{{\left( 1 + \frac{1}{n}\right) }^{{n}^{2}}}$ .

例 13 试证 $\mathrm{e}$ 是无理数.

例 1 对于 $x \geq 0$ ,我们有不等式 $$ \frac{x}{1 + x} \leq \ln \left( {1 + x}\right) \leq x, $$ 等号仅当 $x = 0$ 时成立.

例 2 求证: ${\mathrm{e}}^{x} \geq 1 + x,\forall x \in \mathbb{R}$ ,等号仅当 $x = 0$ 时成立.

例 3 (推广的伯努利不等式) 对于 $\alpha > 1,x > - 1$ ,我们有 $$ {\left( 1 + x\right) }^{a} \geq 1 + {\alpha x}, $$ 等号仅当 $x = 0$ 时成立.

例 4 求证 $$ \frac{\sin x}{x} \geq \frac{2}{\pi },\;\forall x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}}\right\rbrack . $$

例 5 求证: ${\mathrm{e}}^{x} \leq \frac{1}{1 - x},\forall x < 1$ .

例 7 设 $p,q > 0,\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ . 试证 $$ {x}^{\frac{1}{p}}{y}^{\frac{1}{q}} \leq \frac{1}{p}x + \frac{1}{q}y,\;\forall x,y \geq 0, $$ 等号仅当 $x = y$ 时成立.

例 1 求曲线 $$ y = \frac{{x}^{2}}{1 + x} $$ 的渐近线 (参看图 8-4).

例 2 求曲线 $y = {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}$ 的渐近线.

例 3 作函数 $y = {\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}$ 的图形.

例 4 作函数 $y = \frac{2x}{1 + {x}^{2}}$ 的图形.

例 5 作函数 $y = \frac{{x}^{2}}{1 + x}$ 的图形.

例 6 作函数 $y = \frac{{x}^{3}}{{x}^{2} - 1}$ 的图形.

例 1 设 $a > 0$ . 试写出用牛顿法求算术平方根 $\sqrt{a}$ 的迭代公式.

例 2 试用牛顿法解方程 $$ x\ln x - 1 = 0. $$